Q(x, y, z) = (x + y + z) $\left\{(x-y{)}^2+(y-z{)}^2+(z-x{)}^2\right\}$ হলে-

i. রাশিটি প্রতিসম

ii. রাশিটি সমমাত্রিক

iii. Q(2, 3, 4) = 54

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রদত্ত রাশি, \(Q(x, y, z) = (x + y + z) \left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\}\)

এখন, আমরা প্রতিটি উক্তি বিশ্লেষণ করব:

উক্তি i: রাশিটি প্রতিসম

কোনো বহুপদী রাশিকে প্রতিসম (Symmetric) বলা হয় যদি এর যেকোনো দুটি চলক (variable) পরস্পর স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটির মানের কোনো পরিবর্তন না হয়।

ধরি, আমরা \(x\) এবং \(y\) এর স্থান পরিবর্তন করি। তাহলে রাশিটি দাঁড়াবে:

\(Q(y, x, z) = (y + x + z) \left\{ (y-x)^2 + (x-z)^2 + (z-y)^2 \right\}\)

আমরা জানি যে, \(y+x+z = x+y+z\)

এবং \((y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2\)

সুতরাং, \(Q(y, x, z) = (x+y+z) \left\{ (x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2 \right\}\)

যেহেতু, যোগফল \((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\) এর পদগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও যোগফল একই থাকে, তাই রাশিটি প্রতিসম।

অর্থাৎ, \(Q(y, x, z) = Q(x, y, z)\)। একইভাবে \(x, z\) এবং \(y, z\) এর স্থান পরিবর্তনেও রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, উক্তি i সঠিক।

উক্তি ii: রাশিটি সমমাত্রিক

কোনো বহুপদী রাশিকে সমমাত্রিক (Homogeneous) বলা হয় যদি এর প্রতিটি পদের মাত্রা (degree) সমান হয়।

প্রদত্ত রাশিতে দুটি অংশ আছে:

    
1. \((x+y+z)\): এর মাত্রা \(1\) (কারণ \(x\), \(y\), \(z\) প্রত্যেকটির মাত্রা \(1\))।
    
2. \(\left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\}\):         
               
   • \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): এর প্রতিটি পদের মাত্রা \(2\)।
               
   • \((y-z)^2 = y^2 - 2yz + z^2\): এর প্রতিটি পদের মাত্রা \(2\)।
               
   • \((z-x)^2 = z^2 - 2zx + x^2\): এর প্রতিটি পদের মাত্রা \(2\)।
           
           

   সুতরাং, দ্বিতীয় অংশের প্রতিটি পদের মাত্রা \(2\)।

       

দুটি সমমাত্রিক রাশির গুণফল একটি সমমাত্রিক রাশি হবে এবং এর মাত্রা হবে রাশি দুটির মাত্রার যোগফলের সমান।

অতএব, \(Q(x, y, z)\) এর মাত্রা হবে \(1 + 2 = 3\)। যেহেতু রাশিটির প্রতিটি পদের মাত্রা সমান (৩), তাই এটি সমমাত্রিক।

সুতরাং, উক্তি ii সঠিক।

উক্তি iii: Q(2, 3, 4) = 54

রাশিটিতে \(x=2\), \(y=3\), \(z=4\) বসিয়ে পাই:

\(x+y+z = 2+3+4 = 9\)

\((x-y)^2 = (2-3)^2 = (-1)^2 = 1\)

\((y-z)^2 = (3-4)^2 = (-1)^2 = 1\)

\((z-x)^2 = (4-2)^2 = (2)^2 = 4\)

এখন, \(Q(2, 3, 4) = (x+y+z) \left\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \right\}\)

\(= 9 \times (1 + 1 + 4)\)

\(= 9 \times 6\)

\(= 54\)

সুতরাং, উক্তি iii সঠিক।

যেহেতু তিনটি উক্তিই সঠিক, তাই সঠিক উত্তর হবে "i, ii ও iii"।